第一节　天文学与数学的新高峰

一、天文学[1]的发现、发明与著作

宋代是中国封建时代天文学发展的重要时期之一，如果把宋元两个时期的天文学成就合在一起，可以说是中国古代天文学发展的高峰。这个高峰至少包括了三个方面的内容：一是对恒星、新星和超新星的观察；二是天文仪器的进一步改进；三是出现了一些有重大影响的天文学著作。

（一）观测恒星、超新星

宋代对恒星的大规模观测，多集中在北宋，尤其是从真宗大中祥符三年（1010年）到徽宗崇宁五年（1106年）的近百年时间，共进行了五次较大规模的恒星观测活动，其精确度比以前有很大的提高。大中祥符三年（1010年），韩显符制成新的浑仪，观测“外官星位去斗、极度数”[2]；景祐元年（1034年），在编撰《景祐乾象新书》时，进行了第二次观测，其主要成就是测定二十八宿距星的位置；皇祐元年（1049年）到皇祐五年（1053年），宋代天文学家周琮、于渊、舒易简等人铸造铜仪，对周天星官作了第三次观测，其成果主要有345个星官距星的入宿、去极度；元丰元年（1078年）到元丰八年（1085年），又进行了第四次观测，这次观测的成果画成了星图。南宋理宗淳祐七年（1247年），王致远依黄裳原图刻于石板上，这就是天文学史上举世瞩目的苏州石刻天文图，共刻星1430多颗；徽宗崇宁元年（1102年）到崇宁五年（1106年），宋代天文学家姚舜辅等人又进行了第五次观测，这次观测最为精确。据后人研究，这次观测的二十八宿距度误差绝对值平均只有0.15度，从此从唐代僧一行观察二十八宿星的距离数据才被这次观测结果所取代，在当时的条件下，能达到这么高的精确度，是相当不易的。这表明宋人对恒星的观测水平达到了一个新的高度。

“天文图”碑拓片（南宋）

《水运仪象台图》采自《新仪象法要》（北宋）

宋人在观测恒星的同时，对新星和超新星的观测，也取得了突破性的进展，为人们所熟识的便是至和元年（1054年）对天关客星的观测。关于这次观测，《宋会要辑稿》中有记载：“嘉祐元年三月，司天监言：客星没，客去之兆也。初，至和元年五月，晨出东方，守天关，昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”后世天文学家经过多年研究，对此成就已取得共识，承认天关客星附近的蟹状星云就是1054年爆发的超新星遗迹。宋人的观测成果，可以视为这次超新星爆发的原始记录，为蟹状星云及中子星等重大的天文学理论研究，提供了难得的历史资料。

（二）天文仪器的进步

宋代的天文学家是极富创造性的，他们在总结前人天文学成就的基础上，将我国传统的天文仪器诸如漏壶、圭表、浑仪、浑象等发展到最高峰。

浑仪（模型）（北宋）

关于漏壶的改进，最具成就的要数燕肃。他在天圣九年（1031年）发明了莲花漏法，在漏壶中第一次采用漫流系统。何谓漫流系统？即在漏壶的上部开孔，使多余的水由孔中流出，以保持漏壶有恒定的水位。这一改进消除了漏壶水位的变化对水流量的影响，提高了漏壶计量时间的准确性，这在漏壶发展史上是一次重大的革新。

关于圭表测影的技术，在宋代也取得显著的进步。为了克服圭表表端的影子因太阳光散射而模糊不清的问题，宋代大科学家沈括提出了一个新的办法，即使用“副表”来增加影子的清晰度。另一位科学家苏颂提出了“于午正以望筒指日，令景透筒窍，以窍心之景，指圭面之尺寸为准”[3]的办法。这些新方法的采用大大提高了测影的精确度，使古代圭表测影技术达到一个新的水平。

关于浑仪制造，宋人在北宋百余年间共制造五架巨型浑仪。从宋代浑仪结构来看，不同于汉唐的浑仪，主要是宋代浑仪比较简化，减少了汉唐浑仪不太重要的环，改变了汉唐浑仪一些环的位置。在北宋天文仪器中，最杰出的成就要推苏颂、韩公廉等人于元祐三年（1088年）制成了水运仪象台。这是一种大型的仪器设备，能用多种形式反映和观测天体的运行情况。它主要靠一套齿轮在漏壶流水的推动下使仪器能够保持一个恒定的速度，与天体运行一致起来，既能观测天象，又能计时、报时。

（三）天文学专著

宋代天文学的发达，必然带来人们记录研究天体星位著作的出现。宋代的天文学专著主要有苏颂的《新仪象法要》、王应麟的《六经天文编》等。最主要的要推苏颂的《新仪象法要》。这一天文学著作反映了北宋天文学的巨大成就和机械制造技术的先进水平。全书共分三卷：上卷介绍浑仪的设计；中卷记载浑象的设计；下卷介绍水运仪象台的创制，书中附图63种。

宋代的天文学成就反映了宋人对天体宇宙运行的探索精神，也反映了宋代科学水平所达到的一个新的高度，对宋代文化的繁荣起到了促进作用。

二、辉煌的数学

在宋代的科技成就中，数学的发展较为突出。从某种程度上讲，宋代的数学在中国古代以筹算为主要计算工具的传统数学发展过程中，可以说是一个登峰造极的时代。其许多科学成就，不仅在中国数学史上，而且在世界中世纪数学史上都是极为辉煌的。

（一）名家辈出

宋代的数学成就突出地表现在南宋中后期和元初，即13世纪中后期到14世纪初，代表人物主要有秦九韶、杨辉和朱世杰。

秦九韶（1202—1261年）生活的时代基本上是南宋宁宗朝到理宗朝，属于南宋的中后期。他对星象、数学、音律无所不通，早年随父在中都入太史学习，后来隐居从事数学研究。在长期的数学研究和积累之后，于淳祐七年（1247年）完成了数学名著《数书九章》。该书共分十八卷，分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九大类，每一类又用九个例题以阐明各种算法。本书的突出成就在于高次方程的数值解法和“大衍求一术”。对于数学的看法，他最初认为数学“大则可以通神明，顺性命，小则可以经世务，类万物”，这种观点实际上是理学对数学的影响。但在经过长期摸索之后，他改变了初衷，“所谓通神明，顺性命，固肤末于见，若其小者窃尝设为问答，以拟于用”[4]。用数学来阐明性命之学，实际上是办不到的，只能起到“经世务，类万物”的作用，这就是哲学和科学的不同。因此他的数学成就偏重于生产方面的应用，如“大衍”、“堆积”、“拓法”、“率数”等。

杨辉生活于南宋中后期，理宗景定元年（1260年）中进士第。他的数学成就主要集中于几部数学著作中，如1261年写成的《详解九章算法》（残本）共十二卷，附有习题；1262年写成的《日用算法》二卷；1274—1275年写成的《杨辉算法》等。在他的书中，不仅收录了不少现已无法见到的各种数学著作中的算题和算法，如“增乘开方法”和“开方作法本源”，而且在他的书中还记载有关于改革筹算的一些乘除简捷算法。为了让初学者了解乘除，他还编诗十三首，草图六十六问，这些都体现了当时数学发展的新趋势。杨辉晚年虽遭国破家亡之灾，但他不仕于元，可以说是南宋的遗民。

朱世杰生活于南宋后期到元初，他一生云游四海，以数学研究和数学教学为其职业。莫若在《四元玉鉴》的序中说：“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众。”祖颐在序中也提到：“周游四方，复游广陵（今扬州），踵门而学者云集。”他的数学著作有《四元玉鉴》，共三卷，二十四门，二百八十八个问题，内容是讲述多元高次方程组解法和高阶等差级数等方面的问题。对于他及他的数学成就，西方的科学史家也给予高度评价，称他是“他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”。而《四元玉鉴》是“中国数学著作中的最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”[5]他的另一数学著作为《算学启蒙》，共三卷，二十门，二百五十九个问题，内容包括除法运算、开方、天元术等，是一部较好的启蒙算书。

宋代数学除这几大家外，其他的数学著作不下二十多种，足见宋代数学之发达。究其发达之因，一则是科学发展的必然结果，二则是宋代对算学重视的结果。

（二）天元术和四元术

天元术的成熟和发展是这一时期数学的突出成就。一般讲用求解方程的办法来解决实际问题，需要两个步骤，一是根据问题设未知数，再按题所给条件列出一个含有未知数的方程，天元术的出现就是为解决列方程问题的一个突出成就。宋人有《天元局法》一书，不过已佚，像当时南宋的数学家秦九韶、金元之际的李冶都精于其法。天元术的出现，解决了一元高次方程式列方程的问题。不过，很快到宋元之交的朱世杰把天元术又向前推进了一步，出现了四元术——多元高次方程组的解法。朱世杰在《四元玉鉴》中按天、地、人、物，立成四元。天元术是将各项系数纵列成行，而四元术既有纵列，亦有横列，摆成一个方阵，用来表示一个可以包括四个未知数的方程，并形成了一套多元多项式的运算方法。

（三）刘益、贾宪和沈括的数学求解术

在宋代数学史上，刘益首先打破了对方程系数的限制，并推出了相应的算法——正负开方术。刘益著有《议古根源》一书。此书“引用带纵开方正负损益之法，前古之所未闻也”，由此可见此书在方程论方面有突出贡献，虽此书已失传，但部分内容为南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》所采纳。

开方作法本源图

刘益之后，贾宪发明了增乘开方法。这种方法虽用增乘方法处理的是最简单的高次方程，但把刘益的正负开方术推广为一般高次方程解法的重要一步。况且，贾宪三角形的给出进一步从理论上证明了增乘开方法——随乘随加作法的正确。贾宪著有《算法数古集》二卷、《黄帝九章算法细草》九卷，可惜二书失传。贾宪的三角形是11世纪中国数学的杰出成果之一，它是方程论的重要内容，为后来隙积和无穷级数的若干重要成果的导出奠定了基础。

沈括可以说是宋代最伟大的科学家之一，其《梦溪笔谈》一书中有记载数学方面隙积术、会圆术的成果。此外，他还运用组合数学概念归纳出棋局总数，记载了一些运筹学方面的东西。何谓隙积术？沈括说：“隙积者，谓积之有隙者。如累棋、层坛及酒家积罂之类，虽似复斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。”[6]隙积术在数学史上的意义，不在于他给出累棋、层坛的体积，而在于给出了积罂的求和公式。会圆术是给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系，“置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾。倍之为割田之直径。以所割之数自乘退一位倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。”[7]沈括是中国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第一人。《畴人传》中说：“隙积会圆二术，补《九章》所未及。授时术草以三乘方取矢度即写会圆术也。”

（四）大衍求一术

南宋数学家秦九韶的数学成就在于他的鸿篇巨制《数书九章》一书，其主要内容有“大衍总数术”——一次同余式组解法和“正负开方术”——高次方程的数值解法，这代表了中国乃至世界中世纪数学的最高成就。

“大衍求一术”是中国古代求解联立一次同余式方法的发展，秦九韶称为“求一术”。因将其与《周易》大衍之数相附会，遂称为“大衍求一术”，是从理论上对古代一次同余式组问题解法作出了辉煌的总结。在中国古代数学史上有一个著名的孙子问题，即《孙子算经》中提出的：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”它的解法用到求三个一次同余式的共同解。但在秦九韶以前，尚无关于这一算法的记载，秦九韶第一次对这一算法进行介绍并推广到解决各种数学问题中。他所举的例题就不是孙子问题中的3，5，7之类的简单数据，数据可以是整数，也可以是分数和小数。秦九韶系统地指出了求解一次同余组的一般步骤，既准确又严密。

宋代的数学成就以及延续到元代，是中国古代数学史上的光辉时代，后人在研究这段历史后，无不发出由衷的感慨：

宋元数学，在中国古代以筹算为主要计算工具的传统数学发展过程中，是一个登峰造极的新阶段，在许多方面都取得了极其辉煌的成就。这些成就远远地超过了同时代的欧洲，其中高次方程的数值解法要比西方早八百年，多元高次方程组解法和一次同余式的解法要早五百余年，高次有限差分法要早四百余年。宋元数学，不仅是中国数学史，同时也是世界中世纪数学史上最光辉的一页。[8]

从数学这一科学领域，我们可以看出宋代文化发达的痕迹。宋人虽讲“性理之学”，尤其在南宋理学被尊为官学，此风波及元朝，但自然科学领域的成就丝毫也不逊色，这也反映出了宋代文化开拓创新恢宏的时代特征。但是元以后，尤其是进入明清，人们对数学的热情开始衰落，从此以后，中国古代数学发展进入了低谷。